К свободному концу нити, прикреплённой к стенке и переброшенной через ролик, подвешен груз. Ролик закреплён на бруске массы \(m_0\), который может скользить по горизонтальной плоскости без трения. В начальный момент нить с грузом отклоняют от вертикали на угол \(\alpha\) и затем отпускают. Определите ускорение бруска, если угол, образованный нитью с вертикалью, не меняется при движении системы. Чему равна масса груза?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Куда едет брусок. Нить действует на ролик двумя ветвями: горизонтальная тянет к стенке с силой \(T\), «грузовая» — вниз-вбок, её горизонтальная составляющая \(T\sin\alpha\) направлена от стенки. Так как \(\sin\alpha < 1\), итог — \(T(1-\sin\alpha)\) к стенке: \[ m_0\,a = T\,(1 - \sin\alpha). \tag{1} \]
Ускорение груза. Оно складывается из ускорения ролика (\(a\), к стенке) и ускорения груза относительно ролика. Полная длина нити постоянна, а горизонтальный участок укорачивается с ускорением \(a\) — значит, участок с грузом удлиняется с тем же \(a\), и груз уходит от ролика вдоль нити (вниз под углом \(\alpha\)) с ускорением \(a\). Складывая, получаем составляющие ускорения груза: \[ a_{\text{гор}} = a\,(1-\sin\alpha)\ \ \text{(к стенке)}, \qquad a_{\text{верт}} = a\cos\alpha\ \ \text{(вниз)}. \]
Второй закон Ньютона для груза (на него действуют натяжение \(T\) вдоль нити к ролику и тяжесть): \[ \text{гор.:}\quad m\,a\,(1-\sin\alpha) = T\sin\alpha, \tag{2} \] \[ \text{верт.:}\quad mg - T\cos\alpha = m\,a\cos\alpha. \tag{3} \]
Из (2) выразим \(T = \dfrac{m\,a\,(1-\sin\alpha)}{\sin\alpha}\) и подставим в (3): \[ g = a\cos\alpha\cdot\frac{1-\sin\alpha}{\sin\alpha} + a\cos\alpha = a\cos\alpha\cdot\frac{1-\sin\alpha+\sin\alpha}{\sin\alpha} = \frac{a\cos\alpha}{\sin\alpha}, \] \[ \boxed{\,a = g\,\tg\alpha\,} \] — и это не зависит ни от масс, ни от длины нити.
Масса груза. Подставим \(T\) из (2) в уравнение бруска (1): \[ m_0 a = \frac{m\,a\,(1-\sin\alpha)}{\sin\alpha}\,(1-\sin\alpha) \quad\Longrightarrow\quad m_0 = \frac{m\,(1-\sin\alpha)^2}{\sin\alpha}, \] \[ m = \frac{m_0\,\sin\alpha}{(1-\sin\alpha)^2}. \]