На гладкой горизонтальной плоскости находится клин с углом \(\alpha\) при основании. Тело массы \(m\), положенное на клин, опускается с ускорением, направленным под углом \(\beta > \alpha\) к горизонтали. Определите массу клина.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Третий закон по горизонтали. Пол гладкий, поэтому единственная горизонтальная сила на клин — давление тела \(N\sin\alpha\), а на тело со стороны клина действует такая же сила в обратную сторону. Значит, горизонтальные ускорения связаны: \[ m\,a_{\text{гор}} = M\,A, \tag{1} \] где \(a_{\text{гор}}\) — горизонтальная составляющая ускорения тела (вправо), \(A\) — ускорение клина (влево).
Кинематика. Относительно клина тело скользит вдоль грани; пусть это относительное ускорение равно \(a_{\text{отн}}\). Тогда в неподвижной системе \[ a_{\text{гор}} = a_{\text{отн}}\cos\alpha - A, \qquad a_{\text{верт}} = a_{\text{отн}}\sin\alpha \] (вертикаль клин не меняет — он едет по горизонтали). По условию \[ \tg\beta = \frac{a_{\text{верт}}}{a_{\text{гор}}} = \frac{a_{\text{отн}}\sin\alpha}{a_{\text{отн}}\cos\alpha - A}. \tag{2} \]
Соединяем. Из (1) \(A = \dfrac{m}{M}a_{\text{гор}}\), то есть \(a_{\text{отн}}\cos\alpha = a_{\text{гор}}\left(1+\dfrac{m}{M}\right)\). Подставим в (2): \[ \tg\beta = \frac{a_{\text{отн}}\sin\alpha}{a_{\text{гор}}} = \tg\alpha\cdot\frac{M+m}{M}. \]
Отсюда \(\dfrac{M+m}{M} = \dfrac{\tg\beta}{\tg\alpha}\), то есть \(\dfrac{m}{M} = \dfrac{\tg\beta - \tg\alpha}{\tg\alpha}\), и окончательно \[ M = \frac{m\,\tg\alpha}{\tg\beta - \tg\alpha}. \]