На два катка разного радиуса положили тяжёлую плиту. Она образует угол \(\alpha\) с горизонтом. Найдите ускорение этой плиты. Проскальзывания нет. Массой катков пренебречь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
1. Куда направлена сила. На невесомый каток действуют только две силы: со стороны плиты (в точке \(P\)) и со стороны пола (в точке \(G\)). Невесомое тело в равновесии, если эти силы равны, противоположны и лежат на одной прямой — значит, обе направлены вдоль \(PG\).
2. Геометрия. В треугольнике \(CPG\) стороны \(CP\) и \(CG\) — это радиусы, они равны. Радиус \(CP\) перпендикулярен плите, поэтому он отклонён от вертикали \(CG\) на \(180^\circ - \alpha\). Значит, углы при основании равны \[ \frac{180^\circ - (180^\circ - \alpha)}{2} = \frac{\alpha}{2}, \] и прямая \(PG\) составляет с вертикалью угол \(\alpha/2\) — у обоих катков одинаково, независимо от радиуса!
3. Куда движется плита. Точка \(P\) катка — это точка вращающегося тела, у которого мгновенная ось проходит через \(G\) (качение без проскальзывания). Скорость такой точки перпендикулярна отрезку \(GP\). Проскальзывания между плитой и катком тоже нет, значит и плита движется перпендикулярно \(GP\) — под углом \(\alpha/2\) к горизонту.
4. Второй закон Ньютона. Силы катков перпендикулярны скорости, и работы не совершают; спроецируем закон Ньютона на направление движения — там остаётся только тяжесть: \[ m a = m g\sin\frac{\alpha}{2} \quad\Longrightarrow\quad a = g\sin\frac{\alpha}{2}. \]