В сферическую полость поместили гантель (два шарика массы \(m\) каждый, соединённые невесомым стержнем), как это показано на рисунке. Определите силу давления шариков на стенки сразу же после того, как гантель отпустили. Радиус шариков гантели много меньше радиуса сферы.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Где шарики. Стержень — хорда, наклонённая к вертикали на \(45^\circ\); нижний шарик в самой нижней точке сферы. Треугольник \(OAB\) равнобедренный (\(OA = OB = R\)), угол при основании \(45^\circ\), значит угол при вершине \(O\) равен \(90^\circ\): верхний шарик находится на уровне центра, где радиус горизонтален.
Одно ускорение на двоих. Гантель поворачивается вокруг \(O\) как целое, поэтому касательные ускорения шариков одинаковы по модулю — обозначим их \(a_\tau\). Нормальные реакции направлены по радиусам, вдоль касательной они ничего не дают, и остаются только тяжесть и сила стержня \(F\).
Ключевая геометрия. Стержень наклонён к вертикали на \(45^\circ\) — значит, и к горизонтали тоже на \(45^\circ\). У нижнего шарика касательная горизонтальна, у верхнего — вертикальна, и в обоих случаях проекция силы стержня на касательную одна и та же: \[ F\cos45^\circ = \frac{F}{\sqrt2}. \]
Два уравнения вдоль касательных. У нижнего шарика тяжесть перпендикулярна касательной и в неё не проецируется, у верхнего — наоборот, направлена точно по касательной: \[ \text{нижний:}\quad m a_\tau = \frac{F}{\sqrt2}, \qquad \text{верхний:}\quad m a_\tau = mg - \frac{F}{\sqrt2}. \] Складываем: \(2m a_\tau = mg\), откуда \[ a_\tau = \frac{g}{2}, \qquad \frac{F}{\sqrt2} = \frac{mg}{2}. \] (Стержень сжат: он расталкивает шарики.)
Теперь вдоль радиусов. Скорости пока нулевые, поэтому центростремительных ускорений нет — радиальные проекции сил должны давать нуль. У нижнего шарика радиус вертикален: \[ N_2 = mg + \frac{F}{\sqrt2} = mg + \frac{mg}{2} = \frac{3mg}{2}, \] у верхнего радиус горизонтален (тяжесть в него не проецируется): \[ N_1 = \frac{F}{\sqrt2} = \frac{mg}{2}. \] По третьему закону Ньютона с такими же силами шарики давят на стенки.