Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.1. Законы Ньютона

Савченко, задача 2.1.56

Задача 2.1.56натяжение вращающейся верёвки

Условие

Тело массы \(M\) связано нитью длины \(l\) с осью, вокруг которой оно обращается с угловой скоростью \(\omega\). Найдите силу натяжения нити. Размеры тела малы, силой тяжести пренебречь. Замените нить однородной верёвкой массы \(m\) и найдите силу её натяжения на расстоянии \(x\) от оси вращения.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Мысленно перережем верёвку в сечении \(x\). Натяжение в этом месте — это ровно та сила, которая удерживает всё, что дальше: тело и наружный кусок верёвки. Для куска суммарная центростремительная сила считается «как для точки в его центре»: \(\sum \Delta m\,\omega^2 r = \omega^2 \sum \Delta m\, r\).

Натяжение в сечении удерживает всё, что находится дальше от оси: тело \(M\) и голубой кусок верёвки.

Невесомая нить. Единственная сила на тело — натяжение, оно и есть центростремительная сила: \[ T = M\omega^2 l. \]

Верёвка с массой. Разрежем её мысленно на расстоянии \(x\). Дальше сечения находятся:

— тело \(M\) на радиусе \(l\): ему нужно \(M\omega^2 l\);

— кусок верёвки от \(x\) до \(l\): его масса \(m\dfrac{l-x}{l}\), а центр находится на радиусе \(\dfrac{l+x}{2}\), поэтому ему нужно \[ m\,\frac{l-x}{l}\cdot\omega^2\,\frac{l+x}{2} = \frac{m\omega^2 (l^2-x^2)}{2l}. \]

Всю эту центростремительную силу обеспечивает натяжение в сечении: \[ T_x = M\omega^2 l + \frac{m\omega^2\,(l^2 - x^2)}{2l}. \]

Проверка. При \(x = l\) (у самого тела) \(T_l = M\omega^2 l\) ✓ — как для невесомой нити. При \(x=0\) (у оси) натяжение наибольшее: \(T_0 = M\omega^2 l + \dfrac{m\omega^2 l}{2}\) — верёвка рвётся у оси ✓, и добавка такая, будто вся масса верёвки собрана на её середине \(l/2\) ✓. При \(m = 0\) второе слагаемое исчезает ✓.

Ответ \( T = M\omega^2 l \); \( T_x = M\omega^2 l + \dfrac{m\omega^2 (l^2-x^2)}{2l} \).

Следующая задача 2.1.57 →