На гладкое проволочное кольцо радиуса \(R\), расположенное вертикально, надета маленькая бусинка. Кольцо вращается с угловой скоростью \(\omega\) вокруг вертикальной оси, проходящей по диаметру кольца. Где находится бусинка?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Уравнения. Пусть \(\alpha\) — угол между радиусом к бусинке и вертикалью (от нижней точки). Реакция \(N\) направлена к центру кольца, её составляющие: \(N\cos\alpha\) вверх и \(N\sin\alpha\) — к оси вращения.
По вертикали ускорения нет: \[ N\cos\alpha = mg. \] По горизонтали — центростремительное ускорение \(\omega^2 R\sin\alpha\): \[ N\sin\alpha = m\,\omega^2 R\sin\alpha. \]
Во втором уравнении \(\sin\alpha\) сокращается (если бусинка не в самом низу): \(N = m\omega^2 R\). Подставляя в первое, \[ m\omega^2 R\cos\alpha = mg \quad\Longrightarrow\quad \cos\alpha = \frac{g}{\omega^2 R}. \]
Такое решение существует только при \(\dfrac{g}{\omega^2R} < 1\). Если же \(\omega^2 R \le g\), бусинка остаётся в нижней точке: \(\alpha = 0\).