К тяжёлому шарику, подвешенному на нити длины \(l\), подвешен второй тяжёлый шарик на нити той же длины. При вращении шариков вокруг вертикальной оси, проходящей через верхнюю точку подвеса, обе нити лежат в одной плоскости и составляют с вертикалью постоянные углы \(\alpha\) и \(\beta\). Найдите угловую скорость вращения шариков.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Радиус. Верхняя нить выносит первый шарик на \(l\sin\alpha\) от оси, нижняя добавляет ещё \(l\sin\beta\): \[ r = l\,(\sin\alpha + \sin\beta). \]
Нижний шарик. На него действуют только натяжение \(T_2\) нижней нити (под углом \(\beta\) к вертикали) и тяжесть: \[ \text{вертикаль:}\quad T_2\cos\beta = mg, \] \[ \text{горизонталь:}\quad T_2\sin\beta = m\,\omega^2 r. \]
Делим второе уравнение на первое — масса и натяжение уходят: \[ \tg\beta = \frac{\omega^2 l\,(\sin\alpha+\sin\beta)}{g} \quad\Longrightarrow\quad \omega = \sqrt{\frac{g\,\tg\beta}{l\,(\sin\alpha + \sin\beta)}}. \]