Груз массы \(m\), прикреплённый пружиной жёсткости \(k\) к оси, движется
вокруг этой оси по окружности радиуса \(R\) с угловой скоростью \(\omega\).
Какова длина недеформированной пружины?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Пружина растянута ровно настолько, чтобы её сила обеспечила
центростремительное ускорение. Зная нужную силу, находим растяжение, а по нему
— исходную длину.
Пружина растянута на \(R - l\), где \(l\) — её длина в свободном состоянии.
Сила пружины \(k\,(R - l)\) — единственная горизонтальная сила, значит,
она и есть центростремительная:
\[ k\,(R - l) = m\omega^2 R
\quad\Longrightarrow\quad
R - l = \frac{m\omega^2 R}{k}, \]
\[ l = R\left(1 - \frac{m\omega^2}{k}\right). \]
Проверка. При \(\omega = 0\) получаем \(l = R\) —
пружина не деформирована ✓. При \(\omega^2 \to k/m\) выходит \(l \to 0\):
жёсткости уже впритык, а при \(\omega^2 > k/m\) никакая пружина груз не
удержит — он улетит ✓ (это резонансная частота пружинного маятника).
Ответ
\( l = R\left(1 - \dfrac{m\omega^2}{k}\right) \).