Из тонкого резинового жгута массы \(m\) и жёсткости \(k\) сделали кольцо радиуса \(R_0\). Это кольцо раскрутили вокруг его оси. Найдите новый радиус кольца, если угловая скорость его вращения равна \(\omega\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Мост 1: закон Гука. Длина жгута была \(2\pi R_0\), стала \(2\pi R\). Удлинение \(2\pi(R - R_0)\), поэтому \[ T = k\cdot 2\pi\,(R - R_0). \]
Мост 2: динамика кусочка. Возьмём кусочек с малым угловым размером \(\Delta\varphi\). Его масса \(\Delta m = m\dfrac{\Delta\varphi}{2\pi}\). На концах его тянут две силы \(T\) по касательным; они наклонены друг к другу на угол \(\Delta\varphi\), и их равнодействующая направлена к центру и равна \(T\,\Delta\varphi\). Это и есть центростремительная сила: \[ T\,\Delta\varphi = \Delta m\,\omega^2 R = \frac{m\,\Delta\varphi}{2\pi}\,\omega^2 R \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{m\omega^2 R}{2\pi}. \]
Соединяем. \[ 2\pi k\,(R - R_0) = \frac{m\omega^2 R}{2\pi} \quad\Longrightarrow\quad R\left(4\pi^2 k - m\omega^2\right) = 4\pi^2 k R_0, \] \[ R = \frac{R_0}{1 - \dfrac{m\omega^2}{4\pi^2 k}}. \]
Формула работает, пока знаменатель положителен, то есть при \(\omega < 2\pi\sqrt{k/m}\). При \(\omega \ge 2\pi\sqrt{k/m}\) упругость уже не поспевает за ростом центростремительной потребности — кольцо растягивается неограниченно (разрывается).