Кольцевая цепочка массы \(m\) надета на горизонтальный диск радиуса \(R\). Сила натяжения надетой цепочки \(T\). Найдите коэффициент трения между диском и цепочкой, если при вращении диска с угловой скоростью, равной или превышающей \(\omega\), цепочка с него спадает.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
По радиусу. Возьмём кусочек цепочки с угловым размером \(\Delta\varphi\) и массой \(\Delta m = m\dfrac{\Delta\varphi}{2\pi}\). Натяжения на его концах дают равнодействующую \(T\,\Delta\varphi\) к центру, а обод давит наружу с силой \(\Delta N\). Их разность — центростремительная сила: \[ T\,\Delta\varphi - \Delta N = \Delta m\,\omega^2 R = \frac{m\,\Delta\varphi}{2\pi}\,\omega^2 R. \] Суммируя по всему кольцу (\(\sum\Delta\varphi = 2\pi\)): \[ N = 2\pi T - m\omega^2 R. \]
По вертикали. Цепочку удерживает от сползания сила трения, а её запас равен \(\mu N\): чем быстрее вращение, тем меньше \(N\) и тем слабее «хватка». По условию \(\omega\) — как раз предельная скорость: при ней трение оказывается ровно на пределе, \[ mg = \mu\,N = \mu\,(2\pi T - m\omega^2 R). \]
Отсюда \[ \mu = \frac{mg}{2\pi T - m\omega^2 R}. \]