Горизонтальный диск начинают раскручивать вокруг его оси с линейно возрастающей во времени угловой скоростью \(\omega = \varepsilon t\). При какой угловой скорости тело, расположенное на расстоянии \(r\) от оси диска, начнёт соскальзывать с него, если коэффициент трения между ними равен \(\mu\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Ускорение тела. Касательное (диск раскручивается): \(a_\tau = \varepsilon r\); центростремительное: \(a_n = \omega^2 r\). Они перпендикулярны, поэтому \[ a = \sqrt{a_\tau^2 + a_n^2} = r\sqrt{\varepsilon^2 + \omega^4}. \]
Порог скольжения. Всё это ускорение сообщает телу сила трения, а её максимум \(\mu m g\): \[ m r\sqrt{\varepsilon^2+\omega^4} \le \mu m g. \] Тело срывается, когда равенство достигается: \[ \varepsilon^2 + \omega_1^4 = \frac{\mu^2 g^2}{r^2} \quad\Longrightarrow\quad \omega_1 = \left(\frac{\mu^2g^2}{r^2} - \varepsilon^2\right)^{1/4}. \]
Если раскручивают слишком резко, \(\varepsilon \ge \mu g/r\), то трения не хватает уже в самом начале: тело скользит с первого мгновения, \(\omega_1 = 0\).