С какой максимальной скоростью может ехать по горизонтальной плоскости мотоциклист, описывая круг радиуса \(R\), если коэффициент трения равен \(\mu\)? На какой угол от вертикали он должен при этом отклониться? Во сколько раз увеличится максимально допустимая скорость мотоциклиста при движении по наклонному треку с углом наклона \(\alpha\) к горизонту по сравнению с максимально допустимой скоростью при движении по горизонтальному треку при том же радиусе поворота и том же коэффициенте трения?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Горизонтальная дорога. Центростремительную силу даёт только трение: \[ \frac{mv^2}{R} \le \mu m g \quad\Longrightarrow\quad v_{\max} = \sqrt{\mu g R}. \]
Наклон мотоциклиста. Чтобы мотоцикл не опрокинулся, равнодействующая реакции опоры (\(N\) вверх и трение \(\mu N\) вбок) должна проходить через центр масс, то есть вдоль корпуса: \[ \tg\beta = \frac{\mu N}{N} = \mu \quad\Longrightarrow\quad \beta = \arctg\mu. \]
Наклонный трек. Теперь у обеих сил есть и вертикальная, и горизонтальная составляющие (трение на предельной скорости направлено вниз по склону, к центру): \[ \text{верт.:}\quad N\cos\alpha - \mu N\sin\alpha = mg, \] \[ \text{гор.:}\quad N\sin\alpha + \mu N\cos\alpha = \frac{mu^2}{R}. \] Делим одно на другое: \[ \frac{u^2}{gR} = \frac{\sin\alpha+\mu\cos\alpha}{\cos\alpha - \mu\sin\alpha} = \frac{\tg\alpha + \mu}{1 - \mu\,\tg\alpha}. \]
Сравниваем с \(v^2 = \mu g R\): \[ \frac{u}{v} = \sqrt{\frac{\mu + \tg\alpha}{\mu\,(1 - \mu\,\tg\alpha)}}. \]