В цирковом аттракционе мотоциклист движется по внутренней поверхности сферы радиуса \(R\). Разогнавшись, он начинает описывать горизонтальную окружность в верхней полусфере. После этого для большего эффекта нижнюю полусферу убирают. Определите минимальную скорость мотоциклиста, если коэффициент трения шин о поверхность сферы равен \(\mu\), а угол между вертикалью и направлением на мотоциклиста из центра сферы равен \(\alpha\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Оси. Мотоциклист описывает горизонтальную окружность радиуса \(R\sin\alpha\). Реакция \(N\) направлена от поверхности к центру сферы (вниз и внутрь), трение \(F_{\text{тр}} \le \mu N\) — по касательной к сфере, вверх по «меридиану».
Вертикаль (ускорения нет): вверх работает только трение, вниз — тяжесть и вертикальная часть реакции: \[ F_{\text{тр}}\sin\alpha - N\cos\alpha = mg. \]
Горизонталь (центростремительное ускорение): к оси тянут и реакция, и горизонтальная часть трения: \[ N\sin\alpha + F_{\text{тр}}\cos\alpha = \frac{mv^2}{R\sin\alpha}. \]
Минимальная скорость — когда трение на пределе, \(F_{\text{тр}} = \mu N\). Тогда из первого уравнения \[ N\,(\mu\sin\alpha - \cos\alpha) = mg \quad\Longrightarrow\quad N = \frac{mg}{\mu\sin\alpha-\cos\alpha}, \] а из второго \[ v^2 = \frac{R\sin\alpha}{m}\,N\,(\sin\alpha+\mu\cos\alpha) = R g\sin\alpha\cdot\frac{\sin\alpha+\mu\cos\alpha}{\mu\sin\alpha-\cos\alpha}. \] Разделив числитель и знаменатель дроби на \(\cos\alpha\): \[ v_{\min} = \sqrt{\,R g\,\sin\alpha\,\frac{\tg\alpha+\mu}{\mu\,\tg\alpha-1}\,}. \]