С какой угловой скоростью должен вращаться вокруг своей оси горизонтально расположенный цилиндр, чтобы мелкие частицы внутри цилиндра не соскальзывали с его поверхности? Коэффициент трения между поверхностью цилиндра и частицами равен 1, внутренний радиус цилиндра \(R\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Уравнения в точке \(\theta\) (угол от верхней точки). Частица движется по окружности радиуса \(R\) с постоянной \(\omega\): вдоль радиуса — ускорение \(\omega^2R\) к оси, вдоль касательной — нуль.
Проекции на направление к оси: реакция \(N\) целиком туда, а тяжесть в верхней половине даёт \(mg\cos\theta\): \[ N + mg\cos\theta = m\omega^2 R \quad\Longrightarrow\quad N = m\,(\omega^2R - g\cos\theta). \]
По касательной трение уравновешивает составляющую тяжести: \[ F_{\text{тр}} = mg\,|\sin\theta| \le \mu N = m\,(\omega^2R - g\cos\theta) \] (коэффициент трения \(\mu = 1\)).
Худшая точка. Условие переписывается как \[ \omega^2 R \ge g\,(|\sin\theta| + \cos\theta) \quad\text{для всех }\theta. \] В верхней половине (\(0 \le \theta \le 90^\circ\)) правая часть равна \(g\sqrt2\,\sin(\theta + 45^\circ)\) и достигает максимума \(g\sqrt2\) при \(\theta = 45^\circ\); в нижней половине \(\cos\theta < 0\), и там условие заведомо мягче.
Значит, \[ \omega^2 R \ge g\sqrt2 \quad\Longrightarrow\quad \omega \ge \sqrt{\frac{g\sqrt2}{R}}. \]