При \(\beta\)-распаде покоящегося первоначально нейтрона образуются протон,
электрон и нейтрино. Импульсы протона и электрона \(p_1\) и \(p_2\), угол
между ними \(\alpha\). Определите импульс нейтрино.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Нейтрон покоился — суммарный импульс всех трёх частиц равен нулю. Значит,
импульс нейтрино равен по модулю сумме двух других (и направлен против неё):
остаётся сложить два вектора по правилу параллелограмма.
Сумма трёх импульсов равна нулю: нейтрино уносит импульс, противоположный сумме двух остальных.
Модуль суммы двух векторов с углом \(\alpha\) между ними находится по
теореме косинусов (диагональ параллелограмма):
\[ p_\nu = \sqrt{p_1^2 + 2p_1p_2\cos\alpha + p_2^2}. \]
Проверка. При \(\alpha = 0\) (обе частицы в одну
сторону) \(p_\nu = p_1+p_2\) ✓; при \(\alpha = 180^\circ\)
\(p_\nu = |p_1-p_2|\) ✓; при \(\alpha = 90^\circ\) — теорема Пифагора ✓.
Исторически именно «недостача» импульса и энергии в β-распаде заставила Паули
предположить существование нейтрино.
Ответ
\( p_\nu = \sqrt{p_1^2 + 2p_1p_2\cos\alpha + p_2^2} \)
(направлен против суммы \(\vec p_1 + \vec p_2\)).