Радиоактивное ядро распалось на три осколка массы \(m_1\), \(m_2\),
\(m_3\), имеющих взаимно перпендикулярные скорости \(v_1\), \(v_2\), \(v_3\).
Какова была скорость ядра до распада?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Импульс ядра равен сумме импульсов осколков. Они взаимно перпендикулярны —
значит, складываются «по Пифагору в пространстве»: как рёбра прямоугольного
параллелепипеда.
Три взаимно перпендикулярных импульса складываются как рёбра прямоугольного параллелепипеда.
Импульс сохраняется: импульс ядра до распада равен сумме импульсов
осколков. Складываемые векторы попарно перпендикулярны, поэтому квадрат суммы
равен сумме квадратов:
\[ \big[(m_1+m_2+m_3)\,V\big]^2 = (m_1v_1)^2 + (m_2v_2)^2 + (m_3v_3)^2. \]
Отсюда
\[ V = \frac{\sqrt{m_1^2v_1^2 + m_2^2v_2^2 + m_3^2v_3^2}}{m_1+m_2+m_3}. \]
Проверка. Если два осколка невесомы, остаётся
\(V = m_1v_1/(m_1+m_2+m_3)\) ✓. Размерность — скорость ✓. И заметьте: скорость
ядра меньше любой из «полных» скоростей осколков — ведь масса в знаменателе
больше каждой из масс.
Ответ
\( V = \dfrac{\sqrt{m_1^2v_1^2 + m_2^2v_2^2 + m_3^2v_3^2}}{m_1+m_2+m_3} \).