Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.2. Импульс. Центр масс

Савченко, задача 2.2.17

Задача 2.2.17космонавт подтягивается к кораблю

Условие

Космонавт массы \(m_1\) приближается к космическому кораблю массы \(m_2\) с помощью лёгкого троса. Первоначально корабль и космонавт неподвижны, а расстояние между ними равно \(l\). Какое расстояние пройдут корабль и космонавт до встречи?

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Внешних сил нет, а начальный импульс равен нулю — значит, центр масс остаётся на месте. Встретиться они могут только в нём: он и делит расстояние \(l\) в нужной пропорции.

Встреча происходит в центре масс — он неподвижен и делит \(l\) обратно пропорционально массам.

Космонавт и корабль тянут друг друга с равными по модулю силами, внешних сил нет, начальный импульс нулевой — значит, центр масс системы неподвижен, и встретятся они именно в нём.

Центр масс делит отрезок обратно пропорционально массам: \[ m_1 l_1 = m_2 l_2, \qquad l_1 + l_2 = l, \] откуда \[ l_1 = \frac{l\,m_2}{m_1+m_2}\ \ \text{(космонавт)}, \qquad l_2 = \frac{l\,m_1}{m_1+m_2}\ \ \text{(корабль)}. \]

Проверка. Если корабль неизмеримо тяжелее (\(m_2 \gg m_1\)), то \(l_1 \to l\), \(l_2 \to 0\) — космонавт летит к неподвижному кораблю ✓. Если массы равны, каждый проходит \(l/2\) ✓.

Ответ \( l_1 = \dfrac{l\,m_2}{m_1+m_2} \) (космонавт), \( l_2 = \dfrac{l\,m_1}{m_1+m_2} \) (корабль).

Следующая задача 2.2.18 →