Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.2. Импульс. Центр масс

Савченко, задача 2.2.19

Условие

Космическая станция представляет собой цилиндр радиуса \(R\) и массы \(m_2\). Космонавт массы \(m_1\) начал круговой обход станции по её поверхности. Определите траекторию космонавта и траекторию центра станции. Первоначально космонавт и станция неподвижны.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Центр масс системы неподвижен. Расстояние от космонавта до центра станции всегда \(R\), значит, оба они ходят вокруг неподвижного центра масс по окружностям — как два конца жёсткой «палочки» длины \(R\).

Оба описывают окружности вокруг общего центра масс; радиусы в сумме дают \(R\).

Внешних сил нет, начальный импульс нулевой — центр масс системы неподвижен. Космонавт всё время находится на поверхности, то есть на расстоянии \(R\) от центра станции; центр масс лежит на отрезке между ними и делит его обратно пропорционально массам: \[ R_1 = \frac{R\,m_2}{m_1+m_2}\ \ \text{(космонавт)}, \qquad R_2 = \frac{R\,m_1}{m_1+m_2}\ \ \text{(центр станции)}. \]

Значит, обе траектории — окружности с общим центром в центре масс системы. Космонавт обходит её по большей, станция «покачивается» по меньшей, причём всегда с противоположной стороны от центра масс.

Проверка. \(R_1 + R_2 = R\) ✓ — расстояние между космонавтом и центром станции сохраняется. При \(m_1 \ll m_2\) станция почти не шевелится ✓. Вернувшись в исходную точку поверхности, космонавт вернёт и станцию на место — сдвига не будет, ведь центр масс не двигался.

Ответ обе траектории — окружности с центром в центре масс системы; \( R_1 = \dfrac{R m_2}{m_1+m_2} \) (космонавт), \( R_2 = \dfrac{R m_1}{m_1+m_2} \) (центр станции).

Следующая задача 2.2.20 →