Где находится центр масс: однородного прута, согнутого посередине под прямым углом? однородной треугольной пластинки? гардеробного номерка в виде диска с круглым отверстием?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а) Согнутый прут. Пусть каждая половина имеет длину \(L\) и массу \(M/2\). Центр масс каждой половины — её середина, на расстоянии \(L/2\) от вершины вдоль своего звена. Центр масс всего прута — середина отрезка, соединяющего эти две точки. Он лежит на биссектрисе прямого угла на расстоянии \[ l = \frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{L}{2}\right)^2+\left(\frac{L}{2}\right)^2} = \frac{L\sqrt2}{4} \] от вершины: расстояние от вершины прямого угла до середины гипотенузы равно половине гипотенузы (катеты здесь — отрезки длины \(L/2\) до середин половин).
б) Треугольная пластинка. Разрежем её на узкие полоски, параллельные одной из сторон. Середина каждой полоски лежит на медиане, проведённой к этой стороне, — значит, и центр масс всей пластинки лежит на этой медиане. Повторив рассуждение для другой стороны, получаем: центр масс — в точке пересечения медиан.
в) Диск с отверстием. Хитрость: считаем, что имеется целый диск массы \(\sim R^2\) плюс «отрицательный» диск-дырка массы \(\sim -r^2\) с центром на расстоянии \(d\). Тогда координата центра масс (ось от центра диска к центру дырки): \[ x = \frac{R^2\cdot 0 - r^2\cdot d}{R^2 - r^2} = -\frac{d\,r^2}{R^2-r^2}. \] Знак минус означает: центр масс смещён от центра диска в сторону, противоположную отверстию, на расстояние \[ l = \frac{d\,r^2}{R^2 - r^2}. \]