На гладком полу стоит сосуд, заполненный водой плотности \(\rho_0\); объём воды \(V_0\). Оказавшийся на дне сосуда жук объёма \(V\) и плотности \(\rho\) через некоторое время начинает ползти по дну сосуда со скоростью \(u\) относительно него. С какой скоростью станет двигаться сосуд по полу? Массой сосуда пренебречь, уровень воды всё время остаётся горизонтальным.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Как движется вода. Жук объёма \(V\) смещается относительно сосуда на \(\Delta s\); освободившееся место занимает вода, а на её место приходит вода сзади. В итоге относительно сосуда вода перемещается так, будто объём \(V\) воды (масса \(\rho_0 V\)) поехал назад со скоростью \(u\).
Полный импульс нулевой (пол гладкий, сосуд невесом). Пусть сосуд едет со скоростью \(v\); тогда скорость жука в лабораторной системе \(v+u\), а вода в среднем движется со скоростью \(v\) минус поправка на «обратный поток»: \[ \underbrace{\rho V\,(v+u)}_{\text{жук}} + \underbrace{\rho_0 V_0\, v - \rho_0 V\,u}_{\text{вода}} = 0. \]
Раскрываем и собираем \(v\): \[ v\,(\rho V + \rho_0 V_0) = u V\,(\rho_0 - \rho) \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{u\,V\,(\rho_0 - \rho)}{\rho V + \rho_0 V_0}. \]