Для создания искусственной силы тяжести два отсека орбитальной станции
(отношение масс \(1:2\)) развели на расстояние \(R\) друг от друга и
раскрутили вокруг их общего центра масс. Определите время полного оборота
отсеков, если в более массивном отсеке искусственная сила тяжести в два раза
меньше силы тяжести на Земле.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
«Искусственная тяжесть» — это центростремительное ускорение
\(\omega^2 r\), где \(r\) — расстояние отсека до центра масс. Тяжёлый
отсек ближе к центру масс — и «тяжести» у него меньше.
Тяжёлый отсек вращается по окружности втрое меньшего радиуса — и «тяжесть» в нём вдвое меньше, чем в лёгком.
Где центр масс. Массы относятся как \(1:2\), поэтому расстояния до
центра масс — как \(2:1\):
\[ r_{\text{тяж}} = \frac{R}{3}, \qquad r_{\text{лёгк}} = \frac{2R}{3}. \]
Период:
\[ T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{2R}{3g}}. \]
Проверка. В лёгком отсеке ускорение вдвое больше —
\(\omega^2\cdot 2R/3 = g\), там «земная» тяжесть ✓. Прикидка: при \(R = 100\) м
\(T = 2\pi\sqrt{200/30} \approx 16\) с — станция делает почти четыре оборота
в минуту; для космонавтов это ощутимо, потому реальные проекты предполагают
сотни метров троса.