Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.2. Импульс. Центр масс

Савченко, задача 2.2.24

Задача 2.2.24★ натяжение нити между телами

Условие

Два тела массы \(m_1\) и \(m_2\) связаны натянутой нитью длины \(l\) и движутся по гладкой горизонтальной поверхности. В некоторый момент времени оказалось, что первое тело неподвижно, а скорость второго тела, равная \(v\), перпендикулярна нити. Определите силу натяжения нити.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Перейдём в систему центра масс: там связка просто вращается вокруг него как целое. Угловую скорость легко найти из относительной скорости тел (она перпендикулярна нити и равна \(v\)), а дальше — обычная формула центростремительной силы.

Относительно первого тела второе движется по окружности радиуса \(l\) — отсюда сразу \(\omega = v/l\).

Угловая скорость. Нить нерастяжима, поэтому связка вращается как целое с некоторой угловой скоростью \(\omega\). Относительная скорость тел равна \(v - 0 = v\) и перпендикулярна нити, а для вращения твёрдой связки \[ v_{\text{отн}} = \omega\, l \quad\Longrightarrow\quad \omega = \frac{v}{l}. \]

Радиусы вращения. Центр масс движется равномерно (внешних сил нет), и вокруг него оба тела ходят по окружностям радиусов \[ r_1 = \frac{l\,m_2}{m_1+m_2}, \qquad r_2 = \frac{l\,m_1}{m_1+m_2}. \]

Натяжение — единственная сила, действующая на каждое тело, и она центростремительная: \[ F = m_1\omega^2 r_1 = m_1\cdot\frac{v^2}{l^2}\cdot\frac{l\,m_2}{m_1+m_2} = \frac{m_1 m_2\, v^2}{(m_1+m_2)\,l}. \]

Проверка. Для второго тела: \(m_2\omega^2r_2\) даёт то же самое ✓ (как и должно быть по третьему закону). Если одно тело очень тяжёлое (\(m_2\to\infty\)), \(F \to m_1v^2/l\) — обычное вращение лёгкого тела на нити вокруг неподвижного центра ✓. Комбинация \(\dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}\) — это «приведённая масса», она постоянно возникает в задачах о двух телах.

Ответ \( F = \dfrac{m_1m_2\,v^2}{(m_1+m_2)\,l} \).

Следующая задача 2.2.25 →