Космическая станция состоит из двух отсеков массы \(m_1\) и \(m_2\), соединённых длинным однородным тросом длины \(L\). Станция вращается вокруг оси, перпендикулярной тросу. Какова угловая скорость вращения, если сила натяжения троса вблизи первого отсека равна \(T_1\), а вблизи второго — \(T_2\)? Какова масса троса?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Угловая скорость. Для каждого отсека натяжение — единственная сила: \[ T_1 = m_1\omega^2 r_1, \qquad T_2 = m_2\omega^2 r_2. \] Отсюда \(r_1 = \dfrac{T_1}{m_1\omega^2}\), \(r_2 = \dfrac{T_2}{m_2\omega^2}\), а их сумма равна длине троса: \[ \frac{T_1}{m_1\omega^2} + \frac{T_2}{m_2\omega^2} = L \quad\Longrightarrow\quad \omega = \sqrt{\frac{m_2T_1 + m_1T_2}{L\,m_1m_2}}. \]
Масса троса. Ось вращения проходит через центр масс всей системы, включая трос. Трос однороден, его центр масс — середина, она находится на расстоянии \(\dfrac{r_2-r_1}{2}\) от оси (со стороны второго отсека). Условие «сумма моментов масс относительно оси равна нулю»: \[ -m_1 r_1 + m_2 r_2 + m\cdot\frac{r_2 - r_1}{2} = 0. \]
Подставим \(r_1, r_2\) и умножим на \(\omega^2\): \[ -T_1 + T_2 + \frac{m}{2}\left(\frac{T_2}{m_2} - \frac{T_1}{m_1}\right) = 0, \] \[ m = \frac{2m_1m_2\,(T_1 - T_2)}{m_1T_2 - m_2T_1}. \]