Три точечные массы \(m_1\), \(m_2\), \(m_3\) связаны нитями длины \(l\) и вращаются с угловой скоростью \(\omega\) вокруг центра масс, сохраняя конфигурацию равностороннего треугольника. Найдите силу натяжения всех нитей.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Куда смотрит центростремительная сила. Обозначим \(M = m_1+m_2+m_3\). Радиус-вектор первой массы от центра масс: \[ \vec r_1 = \vec a_1 - \frac{m_1\vec a_1 + m_2\vec a_2 + m_3\vec a_3}{M} = -\frac{m_2\,(\vec a_2 - \vec a_1) + m_3\,(\vec a_3 - \vec a_1)}{M}. \] В скобках стоят как раз векторы, направленные вдоль нитей от первой массы к остальным (длины \(l\)).
Уравнение движения первой массы. На неё действуют только две нити: \[ T_{12}\,\hat e_{12} + T_{13}\,\hat e_{13} = m_1\omega^2\,(-\vec r_1) = \frac{m_1\omega^2 l}{M}\left(m_2\hat e_{12} + m_3\hat e_{13}\right). \]
Направления \(\hat e_{12}\) и \(\hat e_{13}\) различны, поэтому коэффициенты при них можно приравнять по отдельности: \[ T_{12} = \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2+m_3}\,l\,\omega^2, \qquad T_{13} = \frac{m_1 m_3}{m_1+m_2+m_3}\,l\,\omega^2, \] и точно так же \[ T_{23} = \frac{m_2 m_3}{m_1+m_2+m_3}\,l\,\omega^2. \]