На тележке установлен цилиндрический сосуд с площадью сечения \(S\), наполненный жидкостью плотности \(\rho\). От сосуда параллельно полу отходит длинная и тонкая горизонтальная трубка, небольшой отрезок которой вблизи конца загнут по вертикали вниз. Расстояние от оси сосуда до отверстия трубки равно \(L\). Уровень жидкости в сосуде опускается с ускорением \(a\). Какой горизонтальной силой можно удержать тележку на месте?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Скорость в трубке. Пусть сечение трубки \(s\), скорость жидкости в ней \(u\), а уровень в сосуде опускается со скоростью \(v\). Объём, уходящий из сосуда, равен объёму, идущему по трубке: \[ S v = s u \quad\Longrightarrow\quad u = \frac{S}{s}\,v. \]
Горизонтальный импульс. В основном он сосредоточен в жидкости, текущей по трубке (масса \(\rho s L\), скорость \(u\)): \[ p = \rho s L\cdot u = \rho s L\cdot\frac{S v}{s} = \rho S L\, v. \] Сечение трубки сократилось — ответ от него не зависит.
Почему \(L\) отсчитывают от оси сосуда. Чуть-чуть жидкости движется горизонтально и внутри сосуда — она стекается ко входу трубки. Учесть всё сразу помогает разбиение течения на тонкие струйки. Кусочек струйки длины \(\Delta s\) и сечения \(\Delta A\) несёт горизонтальный импульс \(\rho\,v_x\,\Delta A\,\Delta s = \rho\,\Delta\Phi\,\Delta x\), где \(\Delta\Phi = v\,\Delta A\) — расход струйки (одинаковый по всей её длине), а \(\Delta x = \Delta s\,\dfrac{v_x}{v}\) — горизонтальная проекция кусочка. Суммируя вдоль струйки, получаем \(\rho\,\Delta\Phi\,(x_{\text{кон}} - x_{\text{нач}})\) — важны только концы! Струйки начинаются у опускающейся поверхности (по симметрии — «в среднем» на оси сосуда), а кончаются у отверстия. Поэтому точный импульс равен \(p = \rho S v\,L\) именно с \(L\), отсчитанным от оси.
Сила. Струя вылетает из загнутого конца вертикально вниз и горизонтального импульса не уносит. Значит, весь рост \(p\) обязан внешней горизонтальной силе: импульс растёт вместе с \(v\), а \(v\) растёт с ускорением \(a\): \[ F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \rho S L\,\frac{\Delta v}{\Delta t} = \rho S L\, a. \] Именно такая горизонтальная сила и нужна, чтобы тележка стояла.