Обезьяна массы \(m\) уравновешена противовесом на блоке \(A\). Блок \(A\) уравновешен грузом массы \(2m\) на блоке \(B\). Система неподвижна. Как будет двигаться груз, если обезьяна начнёт равномерно выбирать верёвку со скоростью \(u\) относительно себя? Массой блоков и трением пренебречь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Одинаковые ускорения. Блоки невесомы, поэтому натяжение верёвки на блоке \(A\) одно и то же — обозначим \(T\). Тогда блок \(A\) тянут вниз две ветви, то есть \(2T\), и верёвка через блок \(B\) натянута силой \(2T\). Записываем второй закон Ньютона (ось вверх): \[ \text{обезьяна: } m a_1 = T - mg, \quad \text{противовес: } m a_2 = T - mg, \quad \text{груз: } 2m a_3 = 2T - 2mg. \] Все три дают одно и то же \(a = T/m - g\).
Но связи требуют нуля. Верёвка через \(B\): груз и блок \(A\) движутся навстречу, \(a_A = -a_3\). Верёвка через \(A\) (подвижный блок): \(a_1 + a_2 = 2a_A\) — здесь учтено, что обезьяна выбирает верёвку равномерно, поэтому её ускорение совпадает с ускорением её конца верёвки. Подставляя \(a_1 = a_2 = a_3 = a\): \[ 2a = 2a_A = -2a_3 = -2a \quad\Longrightarrow\quad a = 0. \] Итак, всё движется равномерно, и натяжение \(T = mg\).
Скорости. Раз ускорений нет, движение установилось сразу — рывком в начале. Импульсы, полученные телами за этот рывок (импульс натяжения \(J\) на каждой ветви верёвки \(A\) и \(2J\) на верёвке \(B\)): \[ m v_1 = J,\qquad m v_2 = J,\qquad 2m v_3 = 2J, \] то есть все три скорости одинаковы: \(v_1 = v_2 = v_3 = V\) (вверх), а блок \(A\) идёт вниз со скоростью \(V\).
Связь с \(u\). Обезьяна выбирает верёвку, то есть поднимается относительно неё со скоростью \(u\). Для верёвки на подвижном блоке \(A\): \[ v_{\text{вер}} + v_2 = 2 v_A, \qquad v_1 = v_{\text{вер}} + u. \] Подставим \(v_1 = v_2 = V\), \(v_A = -V\): \[ (V - u) + V = -2V \quad\Longrightarrow\quad 4V = u \quad\Longrightarrow\quad V = \frac{u}{4}. \]