Космический корабль должен, изменив курс, двигаться с прежним по модулю импульсом \(p\) под углом \(\alpha\) к первоначальному направлению. На какое наименьшее время нужно включить двигатель с силой тяги \(F\) и как при этом нужно ориентировать ось двигателя?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сколько импульса надо добавить. Векторы \(\vec p_{\text{нач}}\) и \(\vec p_{\text{кон}}\) равны по модулю и образуют угол \(\alpha\). Основание такого равнобедренного треугольника (это и есть \(\Delta\vec p\)) равно \[ |\Delta \vec p| = 2p\sin\frac{\alpha}{2}. \]
Наименьшее время. Импульс силы \(\vec F\,t\) должен в точности совпасть с \(\Delta\vec p\). При заданной тяге \(F\) \[ t_{\min} = \frac{|\Delta\vec p|}{F} = \frac{2p\sin(\alpha/2)}{F}, \] и достигается это, только если тяга всё время направлена вдоль \(\Delta\vec p\) (иначе часть импульса силы уйдёт «не туда» и понадобится больше времени).
Куда направить тягу. Основание равнобедренного треугольника перпендикулярно его биссектрисе, а биссектриса делит угол \(\alpha\) пополам. Значит, тяга составляет с первоначальным направлением угол \[ \beta = 90^\circ + \frac{\alpha}{2} = \frac{\pi+\alpha}{2}. \] (Сопло двигателя, разумеется, смотрит в противоположную сторону.)