В масс-пролётном спектрометре источник испускает сгусток заряженных частиц, которые сначала летят свободно и пролетают через первый датчик \(D_1\), находящийся на расстоянии \(L\) от сетки. За сеткой по нормали к ней действует электрическая сила \(F\). Частицы поворачиваются и вылетают через сетку назад, пролетая через второй датчик \(D_2\), находящийся на том же расстоянии \(L\) от сетки. От напряжения источника зависит скорость вылетающих частиц, но точное её значение остаётся неизвестным. Меняя напряжение, измеряют время между срабатываниями датчиков и находят наименьшее его значение \(\Delta t\). Какова масса частиц? Как можно найти массу частиц, если источник испускает несколько сортов частиц с разной массой?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Складываем времена. Пусть скорость частиц \(v\). До сетки и после неё частица летит равномерно, проходя суммарно \(2L\): \[ t_1 = \frac{2L}{v}. \] За сеткой действует постоянная сила \(F\), тормозящая частицу и возвращающая её обратно. Это как «бросок вверх»: импульс сначала гасится, затем набирается в обратную сторону, так что \[ F\,t_2 = 2mv \quad\Longrightarrow\quad t_2 = \frac{2mv}{F}. \]
Полное время между срабатываниями датчиков: \[ t = \frac{2L}{v} + \frac{2m}{F}\,v. \]
Минимум. Произведение слагаемых не зависит от \(v\): \(\dfrac{2L}{v}\cdot\dfrac{2mv}{F} = \dfrac{4Lm}{F}\). А сумма двух положительных чисел с постоянным произведением наименьшая, когда они равны. Тогда каждое равно \(\sqrt{4Lm/F}\), и \[ \Delta t = 2\sqrt{\frac{4Lm}{F}} = 4\sqrt{\frac{Lm}{F}} \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{F\,\Delta t^2}{16 L}. \]
Несколько сортов частиц. Каждый сорт даёт свою кривую \(t(v)\) со своим минимумом, причём при своём напряжении источника. Поэтому строят по экспериментальным точкам график зависимости времени пролёта от напряжения: на нём столько минимумов, сколько сортов частиц, и каждый минимум по формуле \(m = F\Delta t^2/(16L)\) даёт свою массу.