Ящик с песком массы \(M\) лежит на горизонтальной плоскости, коэффициент трения с которой равен \(\mu\). Под углом \(\alpha\) к вертикали в ящик со скоростью \(v\) влетает пуля массы \(m\) и почти мгновенно застревает в песке. Через какое время после попадания пули в ящик, он, начав двигаться, остановится? При каком значении \(\alpha\) он вообще не сдвинется?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Что происходит за время удара. Разложим импульс пули: вертикально вниз \(mv\cos\alpha\), горизонтально \(mv\sin\alpha\). По вертикали ящик не двигается, значит, весь вертикальный импульс принимает на себя пол: \[ J_N = mv\cos\alpha. \] Пока идёт удар, сила нормального давления огромна, вместе с ней огромно и трение: его импульс равен \[ J_{\text{тр}} = \mu J_N = \mu\, m v\cos\alpha \] и направлен против горизонтального сдвига.
Импульс сразу после удара: \[ p = mv\sin\alpha - \mu\, m v\cos\alpha = mv\,(\sin\alpha - \mu\cos\alpha). \] Если \(\tg\alpha \le \mu\), это выражение неположительно — трения хватает, чтобы «съесть» весь горизонтальный удар, и ящик вообще не сдвинется.
После удара ящик с пулей (масса \(M+m\)) скользит и тормозится обычным трением \(\mu(M+m)g\): \[ t = \frac{p}{\mu\,(M+m)g} = \frac{m v\,(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)}{\mu\,(M+m)\,g}. \]