На чаше весов прыгает \(N\) шариков массы \(m\) каждый. Какова средняя сила, действующая на чашу весов, если скорость шариков по модулю не меняется? Увеличивается или уменьшается эта сила, если после удара скорость каждого шарика уменьшается?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Постоянная скорость (упругие отскоки). Рассмотрим все шарики вместе. За долгое время \(T\) их суммарный импульс не изменился (они прыгают одинаково). Значит, суммарный импульс всех внешних сил равен нулю: \[ \bar F\,T - N m g\,T = 0 \quad\Longrightarrow\quad \bar F = N m g. \] Весы покажут ровно суммарный вес шариков — как если бы те смирно лежали.
Если скорость убывает. Пусть шарик прилетает со скоростью \(v\), а отскакивает со скоростью \(v' < v\). За один цикл он передаёт чаше импульс \(m(v + v')\), а сам цикл (полёт до следующего удара) длится \(2v'/g\). Средняя сила от одного шарика: \[ \bar F_1 = \frac{m\,(v+v')}{2v'/g} = \frac{mg}{2}\left(1 + \frac{v}{v'}\right) > mg. \]
Значит, сила увеличивается. Причина наглядна: импульс за удар почти прежний, а вот времени между ударами становится меньше — шарик не успевает высоко подпрыгнуть.