В цилиндре под поршнем массы \(M\) прыгают, упруго ударяясь о поршень и дно цилиндра, \(N\) шариков массы \(m\) каждый. Сила тяжести, действующая на поршень, уравновешена ударами шариков. Расстояние между дном цилиндра и поршнем равно \(h\). Полная энергия каждого шарика одинакова. На какую высоту будут подскакивать шарики, если поршень быстро убрать? \(N \gg 1\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Обозначения. Пусть у дна шарик имеет скорость \(v_0\), а у поршня (пролетев высоту \(h\)) — скорость \(v_1\): \[ v_1^2 = v_0^2 - 2gh. \tag{1} \]
Равновесие поршня. Шарик бьётся о поршень упруго, отдавая импульс \(2mv_1\). Между двумя его ударами о поршень проходит время «вниз и обратно»: \[ \tau = \frac{2\,(v_0 - v_1)}{g}. \] Средняя сила от одного шарика равна \(2mv_1/\tau\), от всех \(N\) — она держит поршень: \[ N\,\frac{2mv_1}{\tau} = Mg \quad\Longrightarrow\quad N m v_1 = M\,(v_0 - v_1) \quad\Longrightarrow\quad v_1 = \frac{M\,v_0}{Nm + M}. \tag{2} \]
Собираем. Подставим (2) в (1): \[ v_0^2\left(1 - \frac{M^2}{(Nm+M)^2}\right) = 2gh, \] \[ v_0^2\,\frac{(Nm+M)^2 - M^2}{(Nm+M)^2} = 2gh, \qquad (Nm+M)^2 - M^2 = Nm\,(Nm+2M). \]
Если поршень быстро убрать, каждый шарик сохраняет свою скорость и взлетает на высоту \(H = v_0^2/(2g)\): \[ H = h\,\frac{(M+Nm)^2}{Nm\,(Nm+2M)}. \]