Внутри сферы радиуса \(R\) со скоростью \(v\) движется частица массы \(m\), упруго ударяясь о её стенки. Скорость частицы образует угол \(\alpha\) с радиусом, проведённым в точку удара. Какова по модулю средняя сила, действующая со стороны стенок сферы на частицу? Какова средняя сила, действующая на единицу площади сферы, если в единице объёма содержится \(N\) таких частиц? Частицы между собой не сталкиваются.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Один удар. При упругом ударе меняется знак только радиальной составляющей скорости \(v\cos\alpha\), поэтому импульс, полученный частицей, равен \[ \Delta p = 2mv\cos\alpha. \]
Между ударами. Хорда, проведённая под углом \(\alpha\) к радиусу, имеет длину \(2R\cos\alpha\): в равнобедренном треугольнике «центр — две точки удара» боковые стороны равны \(R\), углы при основании равны \(\alpha\), и основание-хорда равно \(2\cdot R\cos\alpha\). Время полёта \[ \tau = \frac{2R\cos\alpha}{v}. \]
Средняя сила: \[ F = \frac{\Delta p}{\tau} = \frac{2mv\cos\alpha}{2R\cos\alpha/v} = \frac{m v^2}{R}\,. \] Угол \(\alpha\) выпал — сила одна и та же для любой траектории!
Давление. В объёме сферы \(\frac{4}{3}\pi R^3\) содержится \(\mathcal N = N\cdot\frac{4}{3}\pi R^3\) частиц, каждая давит на стенку в среднем с силой \(mv^2/R\) (по радиусу наружу). Разделив суммарную силу на площадь сферы \(4\pi R^2\): \[ p = \frac{\mathcal N\,\dfrac{mv^2}{R}}{4\pi R^2} = \frac{N\cdot\frac{4}{3}\pi R^3\, m v^2}{4\pi R^3} = \frac{N m v^2}{3}. \]