Две тележки массы \(M\) каждая движутся параллельно с начальными скоростями \(v_1\) и \(v_2\). Груз массы \(m\), сначала лежавший на первой тележке, с почти нулевой скоростью относительно этой тележки перебрасывают на вторую тележку. Затем с почти нулевой скоростью относительно второй тележки его перебрасывают обратно на первую. Какой станет разность скоростей тележек после \(N\) таких перебросов груза туда и обратно? Попробуйте качественно объяснить вязкое трение, возникающее при проскальзывании слоёв газа относительно друг друга.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Один переброс. Груз покидает первую тележку со скоростью \(v_1\) (относительная скорость нулевая) и «слипается» со второй: \[ v_2' = \frac{M v_2 + m v_1}{M+m}. \] Новая разность: \[ v_2' - v_1 = \frac{M\,(v_2 - v_1)}{M+m}. \] Разность скоростей умножилась на \(\dfrac{M}{M+m}\).
Обратный переброс даёт в точности такой же множитель (расчёт симметричен). Значит, за один цикл «туда и обратно» разность умножается на \(\left(\dfrac{M}{M+m}\right)^2\), а после \(N\) циклов \[ \Delta v_N = \left(\frac{M}{M+m}\right)^{2N} (v_2 - v_1). \]
Почему это вязкость. В газе, где соседние слои движутся с разными скоростями, молекулы постоянно перелетают из слоя в слой — точь-в-точь как груз с тележки на тележку. Каждая такая молекула уносит импульс своего слоя и отдаёт его соседнему, выравнивая скорости. Именно этот перенос импульса хаотическим движением молекул мы и воспринимаем как силу вязкого трения.