Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.2. Импульс. Центр масс

Савченко, задача 2.2.37

Задача 2.2.37воздушно-реактивный двигатель

Условие

Определите силу тяги воздушно-реактивного двигателя самолёта, летящего со скоростью \(v\). Массовый расход топлива и поступающего в двигатель воздуха равен \(\mu_1\) и \(\mu_2\) соответственно. Скорость продуктов сгорания относительно самолёта на выходе из двигателя равна \(u\).

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Удобно считать в системе самолёта. Воздух влетает в двигатель уже со скоростью \(v\) — этот импульс двигатель получает даром. Топливо же стартует с нуля, и его приходится разгонять полностью.

В системе самолёта воздух влетает со скоростью \(v\), а всё вылетает со скоростью \(u\).

Перейдём в систему отсчёта самолёта. За секунду в двигатель поступают:

— воздух массы \(\mu_2\) со скоростью \(v\) (навстречу), его импульс \(\mu_2 v\) назад;

— топливо массы \(\mu_1\) с нулевой скоростью (оно летит вместе с самолётом).

Наружу вылетает вся эта масса со скоростью \(u\) назад: \[ p_{\text{вых}} = (\mu_1+\mu_2)\,u. \]

Сила тяги равна изменению импульса газа за секунду (со знаком минус — она действует на самолёт вперёд): \[ F = (\mu_1+\mu_2)\,u - \mu_2 v = \mu_2\,(u - v) + \mu_1 u. \]

Проверка. На стоянке (\(v = 0\)): \(F = (\mu_1+\mu_2)u\) — вся выброшенная масса работает на тягу ✓. При \(v \to u\) остаётся только \(\mu_1 u\): воздух вылетает с той же скоростью, с какой влетел, и вклада не даёт ✓ — вот почему у воздушно-реактивного двигателя есть предельная скорость.

Ответ \( F = \mu_2\,(u-v) + \mu_1 u \).

Следующая задача 2.2.38 →