Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.2. Импульс. Центр масс

Савченко, задача 2.2.38

Задача 2.2.38водомётный катер

Условие

Водомётный катер движется в спокойной воде. Сила сопротивления воды движению катера \(F = k v^2\). Скорость выбрасываемой воды относительно катера \(u\). Определите установившуюся скорость катера, если сечение потока захваченной двигателем воды равно \(S\), плотность воды \(\rho\).

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Катер забирает воду спереди (она влетает в него со скоростью \(v\) относительно катера) и выбрасывает назад со скоростью \(u\). Тяга — это разность импульсов, а расход считаем по сечению захвата.

Вода входит в катер со скоростью \(v\) относительно него, а вылетает со скоростью \(u\) назад.

Расход. Катер движется со скоростью \(v\), поэтому вода входит в заборник со скоростью \(v\) относительно катера, и за секунду захватывается масса \[ \mu = \rho S v. \]

Тяга. Эта вода влетала со скоростью \(v\) (назад относительно катера), а вылетает со скоростью \(u\) назад. Изменение импульса за секунду: \[ F_{\text{тяги}} = \mu\,(u - v) = \rho S v\,(u-v). \]

Установившаяся скорость — когда тяга равна сопротивлению: \[ \rho S v\,(u - v) = k v^2. \] Сокращаем на \(v\) (движение есть): \[ \rho S\,(u-v) = k v \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{\rho S u}{\rho S + k}. \]

Проверка. Всегда \(v < u\) ✓ — обогнать свою же струю невозможно. При \(k \to 0\) (нет сопротивления) \(v \to u\): катер разгоняется, пока струя не «застынет» относительно воды ✓. При очень вязкой среде (\(k \to \infty\)) \(v \to 0\) ✓.

Ответ \( v = \dfrac{\rho S u}{\rho S + k} \).

Следующая задача 2.2.39 →