Труба радиуса \(r\) заполнена пористым веществом плотности \(\rho_0\). Поршень, на который действует постоянная сила \(F\), двигаясь в трубе, уплотняет вещество до плотности \(\rho\). С какой скоростью движется поршень, если уплотнение вещества происходит скачком, т.е. в трубе перемещается с некоторой скоростью граница раздела, справа от которой плотность вещества \(\rho\), а слева — \(\rho_0\)? В начальный момент эта граница совпадает с поверхностью поршня.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Баланс массы. Пусть площадь сечения \(A = \pi r^2\). За время \(\Delta t\) граница проходит \(V\Delta t\) и «захватывает» массу \(\rho_0 A V\Delta t\). Уплотнённая зона за то же время удлиняется на \((V-v)\Delta t\) и содержит массу \(\rho A (V-v)\Delta t\). Это одно и то же: \[ \rho\,(V - v) = \rho_0 V \quad\Longrightarrow\quad V = \frac{\rho\, v}{\rho - \rho_0}. \]
Баланс импульса. Захваченное вещество покоилось, а стало двигаться со скоростью \(v\) (вместе с поршнем). За секунду захватывается масса \(\rho_0 A V\), значит, сила \[ F = \rho_0 A V\, v = \rho_0 A\,\frac{\rho v}{\rho-\rho_0}\,v = \frac{\rho\rho_0 A\,v^2}{\rho - \rho_0}. \]
Отсюда скорость поршня \[ v = \sqrt{\frac{F\,(\rho - \rho_0)}{\pi r^2\,\rho\rho_0}}. \]