На чаше весов стоят песочные часы. Когда песок внизу, показания весов \(2P_0\). Вес песка равен \(P_0\). Часы переворачивают. Нарисуйте график зависимости показания весов от времени. Время падения каждой песчинки \(\Delta t\), время протекания песка \(T\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Расход песка. Весь песок (вес \(P_0\)) пересыпается за время \(T\), значит, за секунду «стартует» песок веса \(P_0/T\). В воздухе одновременно находится песок, летящий \(\Delta t\), то есть весом \[ \Delta P = \frac{P_0\,\Delta t}{T}. \]
Начало (от \(0\) до \(\Delta t\)). Песок уже сыплется, но ещё не долетел до дна. Летящий песок не давит на часы, и весы недосчитываются его веса — показание линейно падает от \(2P_0\) до \(2P_0 - \Delta P\).
Середина (от \(\Delta t\) до \(T\)). Теперь песчинки и стартуют, и приземляются с одинаковой частотой. За секунду приземляется масса \(\mu = \dfrac{P_0}{g\,T}\), и приходит она со скоростью \(w = g\,\Delta t\), так что удары дают дополнительную силу \[ F_{\text{удар}} = \mu\,w = \frac{P_0}{g\,T}\cdot g\,\Delta t = \frac{P_0\,\Delta t}{T} = \Delta P, \] ровно компенсирующую нехватку веса. Весы показывают \(2P_0\) — как будто ничего не происходит.
Конец (от \(T\) до \(T+\Delta t\)). Песок кончился и больше не стартует, но последние песчинки ещё летят и бьют по дну. Теперь «нехватка веса» убывает, а удары продолжаются — показание линейно растёт до \(2P_0 + \Delta P\), после чего скачком возвращается к \(2P_0\).