Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.2. Импульс. Центр масс

Савченко, задача 2.2.41

Задача 2.2.41падающая цепочка

Условие

Однородная цепочка одним концом подвешена на нити так, что другим она касается поверхности стола. Нить пережигают. Определите зависимость силы давления цепочки на стол от длины ещё не упавшей её части. Удар звеньев о стол неупругий, масса цепочки \(m\), её длина \(l\).

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Стол чувствует две вещи: вес уже лежащих звеньев и удары тех, что как раз приземляются. Обе части считаются через одну и ту же длину упавшего куска — и, что удивительно, ударная часть оказывается вдвое больше весовой.

\(x\) — длина ещё не упавшей части; на стол легло \(l-x\).

Скорость падения. Свободная часть падает свободно: пролетев путь \(s = l - x\), звенья приходят со скоростью \[ v = \sqrt{2g\,(l-x)}. \]

Вес лежащей части. На столе лежит длина \(l-x\), то есть масса \(m\dfrac{l-x}{l}\): \[ F_1 = m g\,\frac{l-x}{l}. \]

Сила ударов. За секунду на стол приземляется длина \(v\), то есть масса \(\dfrac{m}{l}v\); каждая приходит со скоростью \(v\) и останавливается: \[ F_2 = \frac{m}{l}v\cdot v = \frac{m v^2}{l} = \frac{m\cdot 2g\,(l-x)}{l} = 2mg\,\frac{l-x}{l}. \] Ровно вдвое больше веса лежащей части!

Итого: \[ F = F_1 + F_2 = 3mg\,\frac{l-x}{l} = 3mg\left(1 - \frac{x}{l}\right). \]

Проверка. В начале (\(x = l\)) сила равна нулю ✓ — цепочка ещё только касается стола. В конце (\(x = 0\)) сила достигает \(3mg\) — втрое больше веса цепочки ✓, а сразу после этого падает до \(mg\), когда всё успокоится. Именно поэтому уроненная цепь бьёт по столу заметно сильнее, чем просто её вес.

Ответ \( F = 3mg\left(1 - \dfrac{x}{l}\right) \), где \(x\) — длина ещё не упавшей части (максимум \(3mg\) в момент приземления последнего звена).

Следующая задача 2.2.42 →