С какой силой давит на землю кобра, когда она, готовясь к прыжку,
поднимается вертикально вверх с постоянной скоростью \(v\)? Масса змеи \(m\),
её длина \(l\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Задача, обратная предыдущей: здесь звенья не приземляются, а стартуют.
Земля держит весь вес змеи и вдобавок разгоняет каждую секунду новый кусочек
от нуля до \(v\).
Поднятая часть движется равномерно, но всё новые участки приходится разгонять с нуля.
Вес. Вся змея (и поднятая часть, и лежащая) в конечном счёте
опирается на землю, поэтому в силу давления входит полный вес \(mg\).
Разгон новых участков. Погонная масса змеи \(\lambda = m/l\). За
секунду в движение вовлекается длина \(v\), то есть масса \(\lambda v\),
которую надо разогнать от нуля до \(v\). Это требует дополнительной силы
\[ F_2 = \lambda v\cdot v = \frac{m v^2}{l}. \]
Итого:
\[ F = mg + \frac{m v^2}{l} = \frac{m\,(v^2 + g l)}{l}. \]
Проверка. При \(v = 0\) остаётся просто вес ✓.
Прикидка для кобры (\(m = 6\) кг, \(l = 1{,}5\) м, \(v = 3\) м/с):
\(F = 60 + 6\cdot9/1{,}5 = 96\) Н — в полтора раза больше веса ✓. Формула —
точное зеркало задачи 2.2.41, только там звенья тормозились, а здесь
разгоняются.