Верёвку, перекинутую через гладкий гвоздь, протаскивают со скоростью \(v\) сквозь щель. Сила трения в щели равна \(F\), масса единицы длины верёвки \(\rho\). Определите силу, действующую на гвоздь, если участки верёвки по разные стороны гвоздя образуют угол \(\alpha\). При какой скорости верёвка отойдёт от гвоздя?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Натяжение. Гвоздь гладкий, поэтому натяжение по обе стороны одно и то же, а определяется оно трением в щели: чтобы тянуть верёвку равномерно, нужно приложить \(T = F\).
Поправка на движение. Рассмотрим кусочек верёвки на изгибе — он движется по дуге радиуса \(R\) со скоростью \(v\), и ему нужна центростремительная сила. Для элемента, отвечающего малому углу поворота \(\Delta\varphi\) (масса \(\rho R\Delta\varphi\)): \[ T\,\Delta\varphi - \Delta N = \rho R\,\Delta\varphi\cdot\frac{v^2}{R} = \rho v^2\,\Delta\varphi, \] то есть гвоздь давит на верёвку так, будто натяжение равно не \(T\), а \(T - \rho v^2\).
Сила на гвоздь. Для покоящейся верёвки, изогнутой так, что участки образуют угол \(\alpha\), сила равна \(2T\cos(\alpha/2)\) (сложение двух натяжений). С поправкой: \[ N = 2\,(F - \rho v^2)\,\cos\frac{\alpha}{2}. \]
Когда верёвка отойдёт. При \(N = 0\): \[ \rho v^2 = F \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{F}{\rho}}, \] и при \(v \ge \sqrt{F/\rho}\) верёвка перестаёт давить на гвоздь — она распрямляется и «летит» мимо него.