Задача 2.2.45во сколько раз лете́т масса
Условие
При изменении скорости космического корабля на \(v\) его масса уменьшилась в \(k\) раз. Во сколько раз при той же скорости истечения газа (относительно ракеты) уменьшилась бы его масса при изменении скорости на величину, в \(n\) раз бо́льшую \(v\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Разгон можно разбить на \(n\) одинаковых порций по \(v\). Каждая порция
«стоит» одного и того же множителя массы \(k\) — ведь ракета в каждой из них
ведёт себя одинаково, только начиная с меньшей массы.
Пусть после первого разгона на \(v\) масса стала \(m_0/k\). Разгон ещё на \(v\) — задача с точно теми же условиями (та же скорость истечения, то же приращение скорости), поэтому масса снова уменьшится в \(k\) раз, до \(m_0/k^2\).
Повторив рассуждение \(n\) раз, получаем: при изменении скорости на \(nv\) масса уменьшится в \[ K = k^{\,n} \] раз.
Проверка. Это и есть содержание формулы
Циолковского \(\Delta v = u\ln(m_0/m)\): равным приращениям скорости отвечают
равные отношения масс ✓ (задача 2.2.46). Практический вывод суров:
чтобы удвоить приращение скорости, нужно возвести отношение масс в квадрат —
отсюда и многоступенчатые ракеты.
Ответ
\( K = k^{\,n} \).