Газ, вытекающий из сопла ракеты, имеет скорость \(v\) относительно неё. Определите изменение скорости ракеты после того, как её масса из-за истечения газа уменьшилась в \(n\) раз.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Одна маленькая порция. Пусть ракета имеет массу \(m\) и выбрасывает порцию \(\Delta m\) со скоростью \(v\) относительно себя. По закону сохранения импульса \[ m\,\Delta u = v\,\Delta m \quad\Longrightarrow\quad \Delta u = v\,\frac{\Delta m}{m}. \] Прибавка скорости зависит не от абсолютной массы порции, а от её доли.
Одинаковые шаги. Разобьём весь процесс на \(N\) шагов так, чтобы на каждом масса уменьшалась в одно и то же число раз \(q\), причём \(q^N = n\). Тогда доля \(\Delta m/m = 1 - 1/q\) на каждом шаге одна и та же, и все прибавки скорости равны между собой: \[ u = N\cdot v\left(1 - \frac{1}{q}\right). \]
Предел мелких шагов. При \(q \to 1\) величины \(1 - 1/q\) и \(\ln q\) неотличимы: обе равны \(q - 1\) с точностью до малых высшего порядка. А сумма \(N\) логарифмов считается точно: \(N\ln q = \ln q^N = \ln n\). Значит, \[ u = v\,\ln n. \]