Задача 2.2.47★ сколько весит ракета
Условие
Скорость газа, выбрасываемого ракетой, относительно неё равна \(2\) км/с. Оцените начальную массу ракеты, которая может вывести на орбиту Земли спутник массы \(10^4\) кг. Как изменится результат при вдвое большей скорости истечения газа?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Формула Циолковского \(u = v\ln n\) — и её беспощадная экспонента: масса
растёт как \(e^{u/v}\). Скорость выхода на орбиту — первая космическая,
примерно \(8\) км/с.
Первый случай: \(v = 2\) км/с, \(u = 8\) км/с: \[ n = e^{\,u/v} = e^{4} \approx 54{,}6, \] \[ m_0 = n\,m = 54{,}6\cdot 10^4 \approx 5{,}5\cdot 10^{5}\ \text{кг}. \] Полтысячи тонн ради десяти тонн полезного груза.
Второй случай: \(v = 4\) км/с: \[ n' = e^{\,8/4} = e^{2} \approx 7{,}4, \qquad m_0' \approx 7{,}4\cdot 10^4\ \text{кг}. \]
Начальная масса уменьшилась в \[ \frac{m_0}{m_0'} = \frac{e^4}{e^2} = e^{2} \approx 7{,}4 \ \text{раза}. \]
Проверка. Вдвое лучший двигатель уменьшает ракету не
вдвое, а в \(7{,}4\) раза ✓ — экспонента работает и в нашу пользу. Оценка
занижена: мы не учли ни сопротивление воздуха, ни гравитационные потери при
подъёме, ни массу самих конструкций, — реальные носители для 10 т на орбите
весят на старте около 300–700 т, что вполне согласуется с оценкой.
Ответ
\( m_0 \approx 5{,}5\cdot 10^5 \) кг; при вдвое большей скорости истечения —
примерно в \(7{,}4\) раза меньше.