Грузик, подвешенный на нити длины \(l\), отклонили на расстояние \(r\) от
точки равновесия и отпустили. Какова его наибольшая скорость?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Нужно найти подъём \(h\) по горизонтальному смещению \(r\). Для небольших
отклонений годится «школьная» оценка: \(h \approx \dfrac{r^2}{2l}\) —
её даёт теорема Пифагора.
Горизонтальное смещение \(r\) даёт подъём всего лишь \(\sim r^2/2l\).
Подъём. Из прямоугольного треугольника: расстояние от точки подвеса
до груза по вертикали равно \(\sqrt{l^2-r^2}\), поэтому груз поднялся на
\[ h = l - \sqrt{l^2 - r^2}
= l\left(1 - \sqrt{1 - \frac{r^2}{l^2}}\right)
\approx \frac{r^2}{2l} \]
(при \(r \ll l\); формулу \(\sqrt{1-x}\approx 1-\tfrac{x}{2}\) удобно помнить).
Скорость в нижней точке — она же наибольшая:
\[ \frac{v^2}{2} = g h = \frac{g r^2}{2l}
\quad\Longrightarrow\quad
v = r\sqrt{\frac{g}{l}}. \]
Проверка. Множитель \(\sqrt{g/l}\) — это круговая
частота колебаний маятника \(\omega\); ответ имеет вид \(v = \omega r\), как у
гармонических колебаний с амплитудой \(r\) ✓. Размерность верна ✓.