Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.3. Кинетическая энергия. Работа. Потенциальная энергия

Савченко, задача 2.3.19

Задача 2.3.19свободный полёт или труба

Условие

Двум одинаковым телам сообщают равные скорости, направленные под одним и тем же углом к горизонту. Одно тело находится после броска в свободном движении, а другое движется без трения по прямой трубе. Какое тело поднимется на бо́льшую высоту?

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея В верхней точке свободный полёт ещё не остановился: у тела остаётся горизонтальная скорость, а вместе с ней — «неизрасходованная» кинетическая энергия. Тело в трубе тратит на подъём всю энергию до последней капли.

В трубе тело останавливается полностью, в свободном полёте — только по вертикали.

Свободное тело. В высшей точке у него остаётся горизонтальная скорость \(v\cos\alpha\); «в высоту» работает только вертикальная составляющая: \[ h_1 = \frac{v^2\sin^2\alpha}{2g}. \]

Тело в трубе. Труба прямая и гладкая; её реакция перпендикулярна скорости и работы не совершает. Тело поднимается, пока не остановится совсем: \[ \frac{m v^2}{2} = m g h_2 \quad\Longrightarrow\quad h_2 = \frac{v^2}{2g}. \]

Так как \(\sin^2\alpha \le 1\), всегда \(h_2 \ge h_1\): выше поднимется тело в трубе.

Проверка. При \(\alpha = 90^\circ\) (бросок точно вверх) высоты совпадают ✓ — труба ничего не меняет. Отношение высот \(h_1/h_2 = \sin^2\alpha\): при \(45^\circ\) свободное тело поднимается вдвое ниже ✓.

Ответ выше поднимется тело, движущееся по трубе: \(h_2 = \dfrac{v^2}{2g} \ge h_1 = \dfrac{v^2\sin^2\alpha}{2g}\).

Следующая задача 2.3.20 →