На нити подвешен шарик. Нить приводят в горизонтальное положение и затем отпускают шарик. В какой точке траектории его ускорение направлено вертикально вверх? вертикально вниз? горизонтально?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Одна переменная. Пусть \(\alpha\) — угол между нитью и вертикалью. Шарик стартовал при \(\alpha = 90^\circ\) без начальной скорости, значит, к текущему моменту он опустился на \(h = l\cos\alpha\), и
\[ v^2 = 2gl\cos\alpha. \]Отсюда обе составляющие ускорения:
\[ a_n = \frac{v^2}{l} = 2g\cos\alpha \quad(\text{вдоль нити, к подвесу}), \qquad a_\tau = g\sin\alpha \quad(\text{вдоль скорости}). \]Проецируем на вертикаль и горизонталь. Направление «к подвесу» составляет с вертикалью угол \(\alpha\), направление скорости — перпендикулярно ему. Аккуратно складывая проекции, получаем
\[ a_{\text{верт}} = 2g\cos^2\alpha - g\sin^2\alpha \ \ (\text{вверх}), \qquad a_{\text{гор}} = 3g\sin\alpha\cos\alpha. \]Вертикальное ускорение — когда \(a_{\text{гор}} = 0\), то есть \(\sin\alpha\cos\alpha = 0\):
• \(\alpha = 0\) — нижняя точка: \(a_{\text{верт}} = 2g > 0\), ускорение направлено вверх и равно \(2g\);
• \(\alpha = 90^\circ\) — старт, нить горизонтальна: \(a_{\text{верт}} = -g\), ускорение направлено вниз и равно \(g\) (скорость нулевая, натяжения нет, тяжесть целиком тангенциальна).
Горизонтальное ускорение — когда \(a_{\text{верт}} = 0\):
\[ 2\cos^2\alpha = \sin^2\alpha \ \Longrightarrow\ \operatorname{tg}^2\alpha = 2 \ \Longrightarrow\ \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt3},\quad \alpha = \operatorname{arctg}\sqrt2 \approx 54{,}7^\circ. \]Величина ускорения там \(a = 3g\sin\alpha\cos\alpha = 3g\cdot\sqrt{\tfrac23}\cdot\tfrac1{\sqrt3} = g\sqrt2\).