Нить длины \(l\) с привязанным к ней шариком массы \(m\) отклонили на
\(90^\circ\) от вертикали и отпустили. На каком наименьшем расстоянии под
точкой подвеса нужно поставить гвоздь, чтобы нить, налетев на него, порвалась?
Нить выдерживает силу натяжения \(T\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Гвоздь стоит точно под подвесом, поэтому нить ложится на него ровно в тот
момент, когда шарик проходит нижнюю точку — там скорость наибольшая. Скорость
при этом не меняется, а радиус скачком уменьшается: натяжение подскакивает.
В нижней точке нить ложится на гвоздь, и радиус вращения
мгновенно становится l − x.
Скорость в нижней точке. Шарик опустился на \(l\):
\[ \frac{2mgl}{\,l-x\,} \ge T - mg \quad\Longrightarrow\quad
l - x \le \frac{2mgl}{\,T-mg\,} \quad\Longrightarrow\quad
x \ge l\,\frac{T - 3mg}{T - mg}. \]
Проверка. При \(T = 3mg\) формула даёт \(x = 0\):
такая нить рвётся в нижней точке и без всякого гвоздя ✓. При \(T \to \infty\)
получаем \(x \to l\) — гвоздь приходится ставить почти вплотную к шарику ✓.
Если \(T < 3mg\), задача бессмысленна: нить порвётся раньше, чем дойдёт до
гвоздя.
Ответ
\( x_{\min} = l\,\dfrac{T - 3mg}{T - mg} \) (при \(T > 3mg\)).