Шарику маятника массы \(m\) сообщили минимальную скорость, при которой он
ещё может описывать окружность в вертикальной плоскости. Какая сила действует
на ось при прохождении маятником положения равновесия? Рассмотрите случаи
подвеса шарика на лёгком стержне и на нити.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
«Минимальная скорость» у нити и у стержня — разные вещи. Нить умеет только
тянуть, поэтому наверху ей нужно \(v^2 = gl\). Стержень умеет ещё и подпирать,
ему хватает \(v = 0\). Отсюда и вся разница.
Наверху у стержня скорость может быть нулевой, у нити — нет;
внизу это даёт разницу ровно в mg.
Нить. Наверху нить может только тянуть вниз, поэтому в предельном
случае центростремительную роль играет одна тяжесть:
\[ v^2 = v_{\text{в}}^2 + 4gl = 5gl,\qquad
N - mg = \frac{mv^2}{l} = 5mg \quad\Longrightarrow\quad N = 6mg. \]
Стержень. Наверху стержень подпирает шарик, так что достаточно
\(v_{\text{в}} = 0\):
\[ v^2 = 4gl,\qquad N - mg = \frac{mv^2}{l} = 4mg \quad\Longrightarrow\quad N = 5mg. \]
По третьему закону Ньютона шарик тянет ось вниз с той же силой.
Проверка. Просто висящий шарик тянет ось с силой
\(mg\); при «минимальной раскрутке» она в 5–6 раз больше ✓. Разница между
случаями ровно \(mg\) — как раз та сила, которой стержень подпирает шарик в
верхней точке ✓.
Ответ
\( F = 5mg \) для стержня; \( F = 6mg \) для нити (сила направлена вниз).