Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.3. Кинетическая энергия. Работа. Потенциальная энергия

Савченко, задача 2.3.25

Задача 2.3.25трамплин на склоне

Условие

На каком минимальном расстоянии от места закругления склона должна располагаться стартовая площадка лыжников, чтобы они, достигнув закругления, начали свободный полёт? Угол склона \(\alpha\), радиус его закругления \(R\), коэффициент трения между лыжами и снегом \(\mu < \operatorname{tg}\alpha\). Стартовой скоростью лыжников пренебречь.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Отрыв на выпуклом закруглении наступает, когда тяжести уже не хватает, чтобы «загибать» траекторию: \(mg\cos\alpha = mv^2/R\). Скорость набирается на прямом участке — и \(\cos\alpha\) чудесным образом сокращается.

Разгон на прямом участке длины L, отрыв — в самом начале закругления.

Разгон на прямом участке. Вдоль склона действуют скатывающая сила \(mg\sin\alpha\) и трение \(\mu mg\cos\alpha\). С места на длине \(L\):

\[ \frac{mv^2}{2} = \bigl(mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha\bigr)L \quad\Longrightarrow\quad v^2 = 2gL\cos\alpha\,(\operatorname{tg}\alpha - \mu). \]

Условие отрыва. В начале закругления лыжник движется по дуге радиуса \(R\); поперёк склона

\[ mg\cos\alpha - N = \frac{mv^2}{R}. \]

Свободный полёт начинается, когда \(N = 0\), то есть при

\[ v^2 \ge gR\cos\alpha. \]

Сшиваем. Множитель \(\cos\alpha\) сокращается:

\[ 2gL\cos\alpha\,(\operatorname{tg}\alpha - \mu) \ge gR\cos\alpha \quad\Longrightarrow\quad L \ge \frac{R}{2(\operatorname{tg}\alpha - \mu)}. \]

Проверка. Ответ не зависит ни от массы, ни от \(g\) ✓. При \(\mu \to \operatorname{tg}\alpha\) лыжник еле-еле съезжает и разгон нужен бесконечный, \(L \to \infty\) ✓. На гладком склоне \(L = R/(2\operatorname{tg}\alpha)\): чем круче склон, тем короче разбег ✓. Оговорка \(\mu < \operatorname{tg}\alpha\) в условии как раз и нужна, чтобы лыжник вообще поехал.

Ответ \( L_{\min} = \dfrac{R}{2(\operatorname{tg}\alpha - \mu)} \).

Следующая задача 2.3.26 →