С вершины гладкой полусферы радиуса \(R\), неподвижно стоящей на
горизонтальной плоскости, соскальзывает небольшое тело. На какой высоте над
этой плоскостью оно оторвётся от полусферы?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Пока тело прижато к сфере, оно движется по окружности радиуса \(R\). Отрыв —
тот момент, когда реакция обращается в нуль и всю центростремительную работу
берёт на себя одна лишь радиальная составляющая тяжести.
Отрыв — когда реакция обнуляется:
cos α = 2/3.
Скорость через угол. Пусть \(\alpha\) — угол радиуса с вертикалью.
Тело опустилось на \(R - R\cos\alpha\), значит
\[ v^2 = 2gR(1 - \cos\alpha). \]
Вдоль радиуса. К центру направлена разность \(mg\cos\alpha - N\):
Высота точки отрыва над плоскостью \(h = R\cos\alpha\):
\[ h = \frac{2R}{3}. \]
Проверка. Ответ не зависит ни от массы, ни от
\(g\) ✓ — как и должно быть в задаче, где всё определяется геометрией.
Угол отрыва \(\alpha = \arccos\frac23 \approx 48^\circ\), скорость там
\(v = \sqrt{2gR/3} \approx 0{,}82\sqrt{gR}\). Заметьте: тело успевает
«спуститься» лишь на треть радиуса ✓.